Théorie du chaos - L'effet papillon passionne les mathématiciens

Le mathématicien Étienne Ghys photographié derrière une représentation de l’effet papillon de Lorenz.
Photo: Jacques Nadeau Le mathématicien Étienne Ghys photographié derrière une représentation de l’effet papillon de Lorenz.

Il nous laisse imaginer combien le cours de l'histoire aurait pu être différent si César n'avait pas traversé le Rubicon. On fait appel à lui pour décrire des phénomènes économiques, voire politiques, comme le marxisme! L'effet papillon est probablement la théorie mathématique la plus connue du grand public. Développé en 1963 pour décrire les phénomènes atmosphériques et signifier qu'il y a peu d'espoir qu'on puisse prévoir la météo à très long terme, l'effet papillon est aujourd'hui devenu une théorie plus florissante que jamais entre les mains des mathématiciens.

Le mathématicien Étienne Ghys, directeur de recherche au CNRS (Centre national de recherche scientifique) à l'École normale supérieure de Lyon, a étudié la forme de l'effet papillon qui est apparue en 1963 à l'ordinateur d'Edward Lorenz, un météorologue américain qu'on désigne souvent comme l'inventeur de ce phénomène typique de la théorie du chaos. Dans la conférence ouverte au grand public qu'il donnera ce soir à l'Université de Montréal à l'invitation du Centre de recherches mathématiques, Étienne Ghys fera le point sur l'histoire et l'évolution de cette théorie popularisée par la fameuse métaphore soulignant qu'«un seul battement d'ailes d'un papillon au Brésil peut déclencher une tempête au Texas».

Edward Lorenz a hyper-simplifié les équations composant les modèles extrêmement compliqués qui décrivent l'atmosphère afin de mettre en évidence la «sensibilité aux conditions initiales» ou, comme le dit le proverbe, le fait que de petites causes peuvent avoir de grands effets. «Sur ce modèle simplifié, il a vu que le mouvement de l'atmosphère qu'il avait caricaturé était chaotique. Que si on modifiait un tant soit peu une condition initiale, cela pouvait conduire à des états atmosphériques complètement divergents», raconte le conférencier.

Lorenz a été très prudent avec sa fameuse métaphore, qui en frappant l'imaginaire du commun des mortels a contribué à populariser sa théorie auprès de toutes les couches de la population. Il disait en effet qu'un seul battement d'ailes d'un papillon peut provoquer un ouragan au Texas, mais il spécifiait bien que ce même battement d'ailes pouvait aussi l'empêcher.

Sans vouloir retirer tout mérite à Lorenz, Étienne Ghys tient néanmoins à rectifier les faits historiques. «Lorenz a redécouvert des choses que l'on connaissait depuis le début du XXe siècle, souligne-t-il. Henri Poincaré et Jacques Hadamard avaient déjà émis l'idée que, dans la mécanique céleste, comme le mouvement des planètes, il y avait du chaos. Ils ont écrit des articles fort poussés sur cette question, mais ils étaient trop modernes pour leur époque.»

En ce début du XXe siècle, c'est la science déterministe de Newton et Laplace qui prévaut. «Il y a même des physiciens qui, à la fin du XIXe siècle, ont dit qu'en physique tout était fini, rappelle Étienne Ghys. Ils ne savaient pas qu'allaient survenir la mécanique quantique, la mécanique relativiste, et que notre vision du monde allait changer en profondeur.»

Selon le déterminisme classique, des causes semblables ou proches induisent des effets semblables. Mais Poincaré et Lorenz ont montré que, si on prend deux causes extrêmement proches, les futurs qu'elles déterminent pourront être très différents, explique le chercheur.

La théorie du chaos nous dit aujourd'hui que, si on change le moindrement les conditions initiales, le résultat en sera fortement transformé, le mathématicien peut connaître ce résultat mais pas le physicien.

La vision caricaturale de Lorenz correspond-elle à une réalité? Aujourd'hui, la bataille fait rage pour savoir si l'effet papillon correspond vraiment à la réalité physique, météorologique par exemple. Les points de vue divergent. Selon le Français Raoul Robert, l'effet papillon n'existe carrément pas. La réalité mathématique de l'effet papillon a par contre été étayée récemment, en 2001, par un théorème. «Aujourd'hui, en 2007, on a une autre conception du déterminisme, on a mieux compris ce phénomène de l'effet papillon qui maintenant fait partie prenante des mathématiques», souligne M. Ghys.

Les mathématiciens se sont donc appropriés la théorie du chaos — dénommée dans leur jargon théorie ergodique ou simplement théorie des systèmes dynamiques. «C'est une théorie florissante et extrêmement riche qui fonctionne très bien. Elle suscite des questions intéressantes, "intéressantes" voulant souvent dire difficiles. En mathématique, le plus difficile c'est souvent de se poser des questions. Elle est florissante aussi parce qu'elle permet de découvrir la solution à des problèmes qu'on ne pouvait résoudre par le passé. Elle possède tous les critères d'une bonne théorie mathématique, parce qu'elle diffuse dans les autres théories, comme la théorie des nombres, par exemple. On imagine rien de plus précis et rigoureux qu'un nombre, mais aujourd'hui on peut comprendre des systèmes dynamiques [ou chaotiques] en théorie des nombres», indique le mathématicien.

Il a donc fallu attendre tout le XXe siècle pour que les mathématiciens acceptent cette imprécision dans les données et l'incorpore dans leurs théories, que l'on désigne aujourd'hui sous l'appellation de théorie des systèmes dynamiques, qui essaie de prendre en compte ce genre d'imprécisions, poursuit le topologue.

Le mathématicien français Évariste Galois a démontré pour la première fois au début du XIXe siècle qu'il n'y a aucun moyen de résoudre les équations du cinquième degré, raconte le chercheur. «Elles ont des solutions, mais elles ne nous sont pas accessibles. Poincaré a aussi montré que l'immense majorité des équations différentielles [qui régissent le mouvement des choses] ont des solutions, mais qu'on ne pourra jamais les calculer. C'est ce qui se passe dans les équations de Lorenz, explique Étienne Ghys. Chaque position initiale de l'atmosphère a un futur unique dont la solution existe, mais on ne peut pas en trouver l'équation, on ne peut pas écrire la formule qui donnerait la solution. Dans les équations de Lorenz, le déterminisme existe mais il est inaccessible et il le demeurera toujours.»

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«L'effet papillon», par Étienne Ghys, à 20h au pavillon Jean Coutu, salle S1-151, au 2940 du chemin de Polytechnique, Université de Montréal.
3 commentaires
  • Gilles Bousquet - Inscrit 7 novembre 2007 07 h 37

    Petites causes et grands effets

    La seule chose, de ce qui est écrit plus haut, vérifiable, est la suivante :Les petites causes peuvent avoir de grands effets.

    Exemple : Une petite tromperie peut résulter en un gros divorce ou une petite chicane de clôture peut résulter en un gros procès, etc...

  • Raymond Vaillancourt - Abonné 7 novembre 2007 08 h 12

    La théorie du chaos en gestion

    Cette théorie a aussi ses applications en gestion, même si pour le moment, cela est peu connu. Elle s'applique tout particulièrement à la gestion du changement.

    Raymond Vaillancourt
    www.propsectgestion.com

  • Roland Berger - Inscrit 7 novembre 2007 10 h 24

    Théorie du papillon et politique

    Tout politicien le moindrement expérimenté sait qu'un choix apparemment tout à fait anodin peut provoquer de grands remous sociaux. Et comme la plupart sont eux-mêmes des papillons, nul besoin de s'étonner du spectacle aussi bizarre qu'inattendu que nous offre leurs efforts de gouvernance.
    Roland Berger
    London, Ontario