Russell et les mathématiques

Je l’ai souvent avoué : si j’avais pu choisir mon destin, j’aurais voulu être un grand mathématicien. Être un Euler ou un Euclide ! Je démarrais assez bien pour en devenir un médiocre. C’était en Afrique, où j’étudiais, et on y implantait les maths modernes — en gros, nées d’une histoire d’amour entre le groupe Bourbaki et le psychologue Jean Piaget, pour ne rien vous cacher.

J’y étais très heureux.

Après des années en Afrique, ce fut le retour au Québec. Mes chères mathématiques ne ressemblaient plus beaucoup à ce que j’aimais. Je ne lance la pierre à rien ni à personne, mais c’était comme si j’étais soudain dans une autre discipline. Le plaisir ébloui de comprendre faisait place à la monotonie lassante d’un « plugage » de formules mal comprises.

J’ai délaissé les maths et me suis tourné vers la philosophie. C’est là que je reprendrais goût à mes anciennes amours, en découvrant celui qui est resté un de mes héros : le philosophe et mathématicien Bertrand Russell (né en 1872), à mes yeux le plus grand philosophe du XXe siècle. Il est, entre tant d’autres choses, un des créateurs de la logique mathématique. On commémore cette semaine et on célébrera toute l’année le cinquantième anniversaire de son décès, survenu le 2 février 1970. Insérer ici quelques larmes…

Russell a beaucoup écrit sur l’éducation, un sujet qu’il savait être de toute première importance. Il a même, chose rare chez les théoriciens de l’éducation, fondé une école et y a enseigné, en plus d’avoir enseigné à l’université de très nombreuses années.

Dans ses écrits, entre tant de sujets, Russell parle bien entendu des mathématiques et de leur place dans le curriculum. Il développe alors de bien belles, et à mon avis justes et importantes, idées.

De précieuses idées

Il soutient ainsi que, pour justifier la place des mathématiques dans une éducation libérale destinée à tous, il faut voir plus loin que leur utilité pratique et les envisager comme une fin en soi, et « non comme un entraînement technique pour ingénieurs ».

Les maths, pour commencer, sont en effet une source particulière de beauté et c’est, selon lui, cette beauté qu’il faut, peu à peu, faire contempler et faire aimer.

Russell a de belles phrases là-dessus. Les mathématiques possèdent, dit-il, « la beauté suprême — une beauté froide et austère, […] sublimement pure et empreinte d’une perfection sévère que seul manifeste l’art le plus élevé. Le véritable esprit de joie, l’exaltation, le sentiment d’être plus qu’humain, qui est la pierre de touche de la plus haute excellence, se trouve en mathématiques aussi sûrement qu’en poésie ».

Il soutient aussi qu’une des grandes vertus des mathématiques est de faire découvrir, de consolider, de renforcer la confiance des élèves en la raison, « en la vérité de ce qui a été démontré et dans la valeur de la démonstration ». Cela me semble aussi indéniable que capital.

Pour cela, poursuit-il, un défaut de l’enseignement doit être autant que possible évité. Il consiste à faire apprendre un ensemble de règles qui se présentent comme ni vraies ni fausses, voire « comme résultant de la seule volonté de l’enseignant », et de demander qu’elles soient appliquées. Vous aurez reconnu là mon « plugage » de formules de tout à l’heure…

Comment procéder en pratique est une belle question de didactique que Russell aborde, mais dont je ne peux discuter ici. J’en viens plutôt à une autre de ses belles observations.

Une autre idée qu’il défend est en effet que l’on contemple en mathématiques quelque chose de particulier que l’on devrait s’efforcer de faire goûter et aimer aux écoliers et aux étudiants : un certain mélange d’unité de méthode et de développement systématique. Il en parle avec lyrisme, mais les amateurs reconnaîtront bien quelque chose qu’on apprécie en maths : « Dans les oeuvres les plus grandes, l’unité et la nécessité sont ressenties comme les ressorts d’un drame : dans les prémisses, on propose de considérer un sujet, et chaque pas fait ensuite est une avancée significative pour en maîtriser la nature. L’amour du système, de l’interconnexion, qui est peut-être l’essence interne de la pulsion intellectuelle, trouve à se déployer librement dans les mathématiques et là seulement. »

Pour finir, comme Platon, Russell souligne à quel point les mathématiques nous donnent l’impression d’entrer dans un monde bien réel (le monde intelligible) mais autre que celui de tous les jours. Pour comprendre ce qu’elles sont, il faut selon lui reconnaître que « les mathématiques ne sont pas seulement indépendantes de nous et de nos pensées, mais en un autre sens, [que] nous-mêmes et tout l’univers des choses existantes sommes indépendants des mathématiques. L’appréhension de ce caractère purement idéal s’avère indispensable. »

Au Québec, nous pouvons nous féliciter de beaux succès dans cet enseignement, même s’il reste du travail à faire. Je voulais toutefois profiter de cette occasion pour saluer les enseignantes et enseignants de maths de tous les niveaux, qui font ce beau métier. Je vous envie souvent… et à travers Bertie, comme on l’appelait, je vous dédie ce texte.

La perle de la semaine

18 commentaires
  • Benoit Léger - Abonné 8 février 2020 06 h 34

    Le langage de l'Univers

    Avant d'être révélés par l'expérience, la plupart des découvertes majeures sur le fonctionnement de l'Univers ont d'abord été des équations mathématiques. Pendant des années et souvent des décennies, la courbure de l'espace-temps, la mécanique quantique, le boson de Higgs qui donne une masse à la matière ou les ondes gravitationnelles, seules les mathématiques pouvaient nous donner accès à ces manifestations du réel.
    Ce n'est pas l'anglais que devraient apprendre les universalistes, mais les mathématiques.

  • Françoise Labelle - Abonnée 8 février 2020 07 h 39

    Russell, la logique mathématique et la philo analytique

    Il faut aussi retenir son apport au développement de la logique mathématique, son application à l'axiomatisation de systèmes mathématiques, un début d'application à l'analyse sémantique (logique) du langage, et, avec Frege, tout le courant de la philosophie analytique, courant qui tentait de faire de la philosophie sur des bases claires et transparentes, en éliminant les approximations référentielles et métaphoriques dont le «post-modernisme» et le trumpisme abusent.
    L'axiomatisation peut avoir l'élégance d'une partition musicale. On pose un certain nombre d'axiomes formulant les principes de base du domaine et on développe par les lois de la logique les différentes conséquences. Développer la preuve est ludique comme la découverte du coupable dans un polar.
    Une fois explicitée, la logique peut être développée, vers les logiques modales (déontiques, temporelles, etc.) ou critiquée. Les mathématiciens constructivistes rejettent la preuve par l'absurde. Si en postulant l'inexistence d'un objet, on aboutit à une contradiction, la preuve par l’absurde nous amène à conclure que cet objet existe. Pour les constructivistes, il faut une construction menant à cet objet. Il aura pavé la voie à Gödel, Turing et, avec eux, la naissance des langages informatiques.
    Esprit universel, il n'a pas eu peur de s'impliquer socialement en courant le risque de se tromper. On connaît sa fameuse théière orbitant autour de la lune, variante du rasoir d'Ockham: on n'a pas à prouver qu'un concept n'existe pas sinon on n'aurait pas fini de prouver l'inexistence de chimères créées par le langage et l'imagination.

  • Marc Therrien - Abonné 8 février 2020 08 h 05

    Mathématiques du vivre-ensemble


    En ce qui me concerne, j’apprécie la possibilité de développer un langage métaphorique en jonglant avec des concepts mathématiques notamment de la mathématique des ensembles. Par exemple, dans le vivre-ensemble, à chacun sa mathématique des ensembles. Les uns et les autres semblent pourtant partager le même désir d’unicité, mais l’éprouver différemment. Pour les premiers, les inclusifs, c’est par le désir de fusion de tous les multiples uniques pour faire Tout Un et pour les autres, les exclusifs, c’est par un désir de séparation des uniques pour faire le Multiple d’Un. La construction de l’intersection est laborieuse.

    Marc Therrien

  • Cyril Dionne - Abonné 8 février 2020 08 h 42

    Si vous ne savez pas ce que vous cherchez, comment pouvez-vous le trouver?

    Bertrand Russell et ses travaux sur la logique non seulement rejoignent le monde de la programmation et de l’informatique, mais aussi celui John Nash et ses travaux sur la probabilité. C’est un des géants en mathématique contemporaine. Eh oui, il était aussi philosophe.

    Ceci dit, est-ce que les mathématiques ne sont qu’une émanation de notre cerveau pour comprendre le monde qui nous entoure et les principes mêmes de l’Univers? Est-ce que les lois des mathématiques existent vraiment ou bien ce n’est qu’une extension de notre cerveau pour faire un ordre et une unité à notre monde sensible? L’équation E = mc2 d’Einstein ne fait aucun sens avant qu’on voit la relation inaliénable entre la matière et l’énergie. Idem pour la plupart des équations qui circulent puisqu’elles ne sont qu’un raccourci pour nous faire déchiffrer des états et situations qui sont extrêmement compliquées à comprendre, prévoir et expliquer. C’est ce que les scientifiques et les ingénieurs utilisent pour tester les idées et leurs hypothèses a priori. C’est ce que Robert Oppenheimer avait fait en testant la fameuse équation d’Einstein avec sa bombe atomique. En fait, avec l’algèbre linéaire, on peut déduire qu’il existe un nombre infini de dimensions.

    Enfin, dans la salle de classe, les formules vides sont aussi inutiles que les calculettes. Il faut revenir à la base pour que l’enfant comprenne ce qu’est vraiment une addition, soustraction, multiplication et division qui sont le socle même de toutes les mathématiques. Si vous ne comprenez pas ces opérations de base, vous ne pourrez pas faire de l’algèbre. C’est souvent cela que les pédagogues oublient.

    La perle de la semaine m’a fait rire. Voici la logique d’un élève très intelligent. La question posée aurait dû être : « Trouver la valeur de X ». Ce qui revient à dire que se sont les questions bien posées qui sont plus difficiles à trouver que leurs réponses. Si vous ne savez pas ce que vous cherchez, comment pouvez-vous le trouver?

    • Marc Therrien - Abonné 8 février 2020 10 h 46

      «Si vous ne savez pas ce que vous cherchez, comment pouvez-vous le trouver?» C’est effectivement une question importante pour le scientifique rationaliste. Pour ce qui est de l’empiriste, il est important de demeurer ouvert à l’étonnement qui vient avec la découverte de ce qui n’était pas cherché. Qu’on pense à Alexander von Humboldt: «N'oublions pas que toutes les croyances populaires, même les plus absurdes en apparence, reposent sur des faits réels, mais mal observés. En les traitant avec dédain, on peut perdre la trace d'une découverte».

      Marc Therrien

    • Robert Bernier - Abonné 8 février 2020 11 h 49

      @ Cyril Dionne

      Le (dernier?) mystère concernant la psyché humaine?

      Vous soulevez une grande question: "Ceci dit, est-ce que les mathématiques ne sont qu’une émanation de notre cerveau pour comprendre le monde qui nous entoure et les principes mêmes de l’Univers?"

      Galilée écrivait à peu près ceci que le livre de la nature est écrit en langage mathématique. Mais les mathématiques existent-elles par elles-mêmes? Et si oui, sont-elles ces Idées pures dont Platon disait qu'elles étaient l'essence même du Monde, et dont le Monde n'était qu'une illustration dévoyée?

      Quand Einstein découvre sont équation du champ gravitationnel, après 10 années de travail intense, et lorsqu'il découvre que son équation règle le problème de la précession de l'orbite de Mercure, que faut-il en conclure? Une mathématique commençant dans une intuition d'Einstein mais se développant au fil de l'utilisation d'autres mathématiques développées antérieurement uniquement pour leur logique interne. Et cette mathématique se révèle soudainement décrire le Monde réel. Il en va de même de l'équation de Dirac: Dirac se met en marche pour réunir les résultats de la relativité à ceux de la théorie quantique de l'époque et, au bout d'un travail qui lui fait inventer de nouvelles mathématiques, il nous dévoile un monde fait de matière et d'antimatière. L'expérimentation confirmera rapidement son hypothèse.

      Les mathématiques sont-elles dans la nature ou sont-elles dans notre cerveau? Quand le mathématicien Ramanujan invente en série des théorèmes qui semblent lui arriver comme venant d'alleurs, que peut-on conclure? Si l'homme est le résultat de l'évolution naturelle, ce qui me semble le plus probable, il faut comprendre que son cerveau s'est adapté à découvrir dans le monde des lois qui y existent. Il s'agirait d'une adaptation. Mais par quels étranges chemins passe-t-on de l'humain comptant sur ses doigts à la théorie quantique des champs? C'est peut-être le dernier mystère sur la psyché humai

    • Marc Therrien - Abonné 8 février 2020 18 h 41

      Le contact avec le mystère nous ramène à l'humilité tel Bertrand Russell qui pensait que "les mathématiques peuvent être définies comme une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi on parle, ni si ce qu'on dit est vrai.”

      Marc Therrien

    • Cyril Dionne - Abonné 9 février 2020 10 h 26

      J’ai bien aimé votre dernière intervention M. Bernier.

      Pourquoi ai-je l’impression que les mathématiques sont des idées pures comme vous dites, mais sont concrétisées par expérimentation dans le monde sensible. Malheureusement, il existe beaucoup de champ de mathématiques où les dernières découvertes ne peuvent pas être vérifiées à cause des ressources immenses qui sont demandés. Comment prouver la théorie des cordes alors que nous avons besoin d’un laboratoire de la grandeur de notre système solaire? Pourtant Edward Witten l’a prouvé mathématiquement.

      Enfin, il existe plus de planète comme la Terre dans l’univers que de grains de sable sur notre planète. Est-ce que la manifestation d’intelligence est la même partout? Simplifier l’équation au psyché humain est peut-être réducteur. Si le temps n’est qu’une autre dimension comme l’a établit Einstein, qu’il n’y a pas de passé, présent ou futur, se pourrait-il que des réalités se produisent en même temps sans que les différents interlocuteurs en soient conscients?

      Mais la cerise sur le sundae comme vous nous le dites, c’est la physique quantique et le chat de Schrödinger qui stipule que les ondes ont des états superposés. En d’autres mots, la dualité de la lumière. Elle agit comme une onde quand on la regarde mais devient des particules lorsqu’on ne regarde pas. Et que dire du phénomène de l’intrication quantique, un phénomène dans lequel deux particules forment un système lié, et présentent des états quantiques dépendant l'un de l'autre quelle que soit la distance qui les sépare? Il n’y aucune mathématique qui peut la prouver et pourtant, par expérimentation, on sait que cela existe réellement.

  • Loyola Leroux - Abonné 8 février 2020 10 h 37

    Les maths divisent le monde en deux, les bollés et les créatifs.

    J’observe le monde de l’éducation depuis plus d’un demi-siècle, ce qui me permet d’affirmer que le monde se divise entre ceux qui sont capables de réussir et surtout d’aimer d’amour avec pl;aisir, le fameux premier cours de maths au cegep ‘’Calcul différentiel et intégral’’ et les autres.

    En prenant ma retraite en 2009, je discutais avec un collègue prof de maths depuis 35 années. Il m’affirma que ce fameux cours avait été charcuté du tiers de son contenu entre depuis 1974. Récemment, un jeune collègue prof de maths, me disait que même si le cegep avait doublé son nombre d’étudiants depuis 10 ans, le nombre de profs de maths avait diminué.

    Les techniques scientifiques comme ‘’Génie mécanique’’ ont abandonné depuis longtemps ce fameux cours, qui a été remplacé par un cours ‘’adapté’’. Les ‘’humaines sciences’’ ont construit un cours de maths créatif. Tout est fait pour diminuer les vrais cours de maths.

    Ce qui signifie un cours de maths, un vrai, est fondamental. Voici un jeune qui est capable pendant trois heures de temps, d’oublier son moi profond, son estime de soi, sa créativité, son intelligence émotive et sexuelle et autres patentes pédagogiques, pour se concentrer sur un problème abstrait, hors du temps, qui requiert des talents peu communs, des capacités intellectuelles rares, un QI élevé, une bosse, une propension à ce qui distingue le plus l’humain de l’animal. Bref, les maths ce n’est que cela, mais c’est tout cela.

    Dans son fameux livre ‘’Science et religion’’ Bertrand Russell applique ses aptitudes mathématiques à l’étude d’un domaine si peu mathématiques.