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    Concordia - Incursion dans les mathématiques pures

    «Peut-on définir des formes modulaires associées à des nombres qui ne sont pas entiers?»

    27 octobre 2012 |Claude Lafleur | Éducation
    À la Chaire de recherche du Canada sur la théorie des nombres de l’Université Concordia, Andrian Iovita, chercheur en mathématiques pures, s’isole souvent avec des collègues pour échanger des idées.
    Photo: Jacques Grenier - Le Devoir À la Chaire de recherche du Canada sur la théorie des nombres de l’Université Concordia, Andrian Iovita, chercheur en mathématiques pures, s’isole souvent avec des collègues pour échanger des idées.
    Des mathématiciens comme Andrian Iovita travaillent sur des « objets mathématiques », telle l’orbite suivie par une planète et étudiée par Johannes Kepler il y a 400 ans.

    Il y a quatre cents ans, un mathématicien de génie, Johannes Kepler, poursuivait des travaux hautement théoriques en cherchant à déterminer la trajectoire des planètes autour du Soleil. Il était ainsi parvenu à établir trois lois qui portent son nom et qui décrivent le déplacement de tous les corps célestes. À l’époque, on était en droit de se demander à quoi bon mener ce genre de recherche. Or les lois de Kepler nous servent à présent non seulement à comprendre l’Univers, mais surtout à guider nos sondes spatiales à travers le système solaire. Si, donc, nous sommes en mesure de nous rendre sur la Lune, sur Mars et jusqu’aux confins du système solaire, c’est grâce aux travaux de Kepler.


    C’est un peu ce que fait Andrian Iovita, titulaire de la Chaire de recherche du Canada sur la théorie des nombres à l’Université Concordia. Loin de se prendre pour un Kepler des temps modernes - absolument pas ! - ce mathématicien de haute voltige n’en poursuit pas moins des recherches hautement théoriques dont l’utilité pourrait n’apparaître que dans un avenir imprévisible.


    Ainsi, il s’emploie à résoudre des « conjectures mathématiques » et à étudier des « objets mathématiques ». « Une conjecture est une affirmation : quelqu’un décrit les propriétés d’un objet et fait une conjecture. Et nous, nous essayons de démontrer que c’est ainsi » (on pourrait dire qu’il s’agit de résoudre des énigmes mathématiques). Quant aux « objets mathématiques » dont parle M. Iovita, ce sont des formes géométriques telles que les orbites étudiées par Kepler. « Mes objets ressemblent plutôt aux orbites des particules élémentaires (électrons) qui tournent autour du noyau de l’atome, précise-t-il, même si c’est en fait un peu loin ! » Il peut en effet s’agir d’objets mathématiques franchement irréels, des vues de l’esprit.


    « Mon travail, c’est avant tout de réfléchir, lance joyeusement Andrian Iovita. Et, donc, je pense ! Je pense toute la journée et parfois même la nuit, ou lorsque je prends ma douche ou fais la cuisine… » À Concordia, il s’isole souvent avec des collègues pour échanger des idées. « On s’enferme dans un local avec un tableau noir et des craies et on discute, on écrit, on efface tout, on écrit de nouveau, on fait des fautes, on corrige nos fautes… et c’est comme ça qu’on avance ! »

     

    Vieux comme le monde


    La théorie des nombres, à laquelle le chercheur consacre tous ses efforts, consiste en l’étude des nombres entiers. « Cela a commencé très tôt dans l’histoire de l’humanité, rappelle-t-il, du temps des Grecs et des Romains. » Ces travaux nous ont entre autres permis de calculer la surface d’objets tels que des carrés, des triangles, des cercles, de même que le volume de cubes, de cylindres, de sphères (théorème de Pythagore, etc.).


    « On étudie aussi les propriétés arithmétiques de ces objets, poursuit le chercheur, ce qui a donné un sous-domaine de la théorie des nombres qu’on appelle la géométrie arithmétique. C’est ce que je fais. »


    « Il y a deux façons d’aborder ce domaine, poursuit-il. Il y a, d’une part, des problèmes non résolus, dont des conjectures énoncées par des mathématiciens et que nous essayons de résoudre. Au début de ma carrière, j’ai travaillé beaucoup comme ça et j’ai eu la chance de démontrer quelques conjectures assez intéressantes. »


    Puis, il y a une dizaine d’années, en collaboration avec d’autres collègues, le professeur Iovita s’est lancé dans une autre approche. « C’est un peu compliqué à expliquer, commence-t-il par dire, mais c’est fort intéressant ! » À preuve, dit-il, lorsqu’il a proposé son projet au comité chargé d’établir des chaires de recherche du Canada, celui-ci s’est montré particulièrement intéressé. « Je me rappelle très bien avoir reçu l’avis du comité qui disait : “ Votre projet est vraiment très intéressant… Et même si vous ne parveniez qu’à en faire une petite partie, ce serait vraiment très bien. ” De toute évidence, poursuit le chercheur, les membres du comité pensaient que cette recherche était très difficile mais, après dix années de travail, nous avons résolu tout le problème ! », dit-il fièrement.


    Formes modulaires et fractions


    Cette recherche « difficile à expliquer » porte sur des objets mathématiques appelés « formes modulaires », explique Andrian Iovita. « Ces objets sont associés, par exemple, à un nombre entier comme 2, 5 ou 6. On peut alors construire des formes modulaires, des objets analytiques ayant certaines propriétés. Mais il y a d’autres sortes de nombres que les nombres entiers », poursuit-il. Par exemple, entre 2 et 3, « il y a beaucoup de nombres rationnels tels que 2½ ou 2¾. Mes recherches portaient donc sur la question suivante : peut-on définir des formes modulaires associées à des nombres qui ne sont pas entiers ? »


    Or, dans les années 1980 et 1990, deux mathématiciens ont répondu par l’affirmative à cette question en concevant deux approches possibles. Toutefois, après quelques années de travail, il est devenu clair que ces méthodes ne s’appliquaient pas, et il n’y a donc pas eu de progrès durant les quinze années suivantes, rapporte le professeur Iovita.


    Cependant, après dix ans de labeur, son équipe vient de mettre un point une méthode qui donne de bons résultats. « Nous avons réussi à construire des familles de formes modulaires pour beaucoup, beaucoup de cas ! », dit-il fièrement.


    À quoi pourraient bien servir ces recherches ?, lance-t-il avec bonhomie. « Il y a des spécialistes en informatique qui utilisent mes travaux pour certaines applications, dit-il. Pour moi, par contre, l’utilité de ce que je fais consiste à élargir la sphère de nos connaissances. On obtient ainsi une meilleure idée de ce qu’il y a autour de nous, on comprend mieux l’Univers et notre place dans celui-ci… Ça aide à cela, me semble-t-il ! »



    Collaborateur

    À la Chaire de recherche du Canada sur la théorie des nombres de l’Université Concordia, Andrian Iovita, chercheur en mathématiques pures, s’isole souvent avec des collègues pour échanger des idées. Il y a 400 ans, les travaux hautement théoriques de l’astronome Johannes Kepler visaient entre autres à déterminer la trajectoire des planètes autour du Soleil.












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